Question

15．在平面直角坐標系xOy中直線l₁的傾斜角為α，且經過點P（1，-1），以坐標系xOy的原點為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系Ox，曲線E的極坐標方程為ρ=4cosθ，直線l₁與曲線E相交于A、B兩點，過點P的直線l₂與曲線E相交于C、D兩點，且l₁⊥l₂．
（1）平面直角坐標系中，求直線l₁的一般方程和曲線E的標準方程；
（2）求證：AB²+CD²為定值．

Answer 1

分析 （1）當α=90⁰時，直線l₁垂直于x軸，其一般方程為x-1=0；當α≠90⁰時，直線l₁的斜率為tanα，所以其方程為（tanα）x-y-tanα-1=0．E的極坐標方程轉化為ρ²=4ρcosθ，由=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出結果．
（2）設直線l₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數），代入曲線E的標準方程為（x-2）²+y²=4，由此能證明AB²+CD²=12+4sin2α+12-4sin2α=24為定值．

解答 解：（1）因為直線l₁的傾斜角為α，且經過點P（1，-1），
當α=90⁰時，直線l₁垂直于x軸，所以其一般方程為x-1=0，
當α≠90⁰時，直線l₁的斜率為tanα，所以其方程為y+1=tanα（x-1），
即一般方程為（tanα）x-y-tanα-1=0．
因為E的極坐標方程為ρ=4cosθ，所以ρ²=4ρcosθ，
因為x=ρcosθ，y=ρsinθ，所以x²+y²=4x．
所以曲線E的標準方程為（x-2）²+y²=4．
（2）證明：設直線l₁的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=-1+tsinα}\end{array}}\right.$（t為參數），
代入曲線E的標準方程為（x-2）²+y²=4，
可得（1+tcosα-2）²+（-1+tsinα）²=4，即t²-2（cosα+sinα）t-2=0，
則t₁+t₂=2（cosα+sinα），t₁t₂=-2，
所以$A{B^2}={（{{t_1}-{t_2}}）^2}={（{{t_1}+{t_2}}）^2}-4{t_1}{t_2}=4{（{cosα+sinα}）^2}+8=12+4sin2α$，
同理$C{D^2}=12+4sin2（{α+\frac{π}{2}}）=12-4sin2α$，
所以AB²+CD²=12+4sin2α+12-4sin2α=24為定值．

點評 本題考查曲線的標準方程的求法，考查弦長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．