Question

已知圓x²+y²=8內有一點P₀（-1，2），AB為過點P₀且傾斜角為α的弦，
（1）當α=135°時，求弦AB的長；
（2）當弦AB被P₀平分時，圓M經過點C（3，0）且與直線AB相切于點P₀，求圓M的標準方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）當α=135°時，求出直線方程，利用直線和圓相交時的弦長公式即可求弦AB的長；
（2）根據直線和圓相切的位置關系即可得到結論．

解答： 解：（1）由題意：圓心O（0，0），r=2

2

，k=-1，則直線AB：y=-x+1；
圓心到直線AB的距離d=

2

2

，弦|AB|=2

r2-d2

=

30

，
（2）由題意，弦AB被P₀平分，則OP₀⊥AB，
∵圓M經過點C且與直線AB相切于點P₀
∴圓M的圓心M為線段CP₀的中垂線與直線OP₀的交點，
∵P₀（-1，2），C（3，0），
∴直線OP₀：y=-2x，CP₀的斜率k=-

1

2

，
線段CP₀的中點為（1，1），
∴CP₀的中垂線方程為y=2x-1，
由

y=-2x y=2x-1

，解得

x= 1 4 y=- 1 2

，即M（

1

4

，-

1

2

），
半徑R=|MP₀|=

5 5

4

，
故圓M的標準方程為（x-

1

4

）²+（y+

1

2

）²=

125

16

．

點評：本題主要考查圓的標準方程的求解以及直線和圓相交的弦長公式的計算，考查學生的計算你來了．