Question

11．在直角坐標系中，圓C₁：x²+y²=1經過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸，并在兩種坐標系中取相同的單位長度，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$
（1）求曲線C₂的直角坐標方程及直線l的直角坐標方程；
（2）在C₂上求一點M，使點M到直線l的距離最小，并求出最小距離．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂，可得：$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圓C₁：x²+y²=1，化簡可得曲線C₂的直角坐標方程，將直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$化為：ρcosθ+2ρsinθ=10，進而可得直線l的直角坐標方程；
（2）將直線x+2y-10=0平移與C₂相切時，則第一象限內的切點M滿足條件，聯立方程求出M點的坐標，進而可得答案

解答 解：（1）∵$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$后得到曲線C₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{3}x′\\ y=\frac{1}{2}y′\end{array}\right.$，代入圓C₁：x²+y²=1得：$\frac{{x}^{′2}}{9}+\frac{{y}^{′2}}{4}=1$，
故曲線C₂的直角坐標方程為 $\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
直線l的極坐標方程為cosθ+2sinθ=$\frac{10}{ρ}$．
即ρcosθ+2ρsinθ=10，即x+2y-10=0，
（2）將直線x+2y-10=0平移與C₂相切時，則第一象限內的切點M滿足條件，
設過M的直線為x+2y+C=0，
則由$\left\{\begin{array}{l}x+2y+C=0\\ \frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1\end{array}\right.$得：$\frac{25}{4}$x²+$\frac{9}{2}$Cx+$\frac{9}{4}$C²-36=0，
由△=（$\frac{9}{2}$C）²-4×$\frac{25}{4}$×（$\frac{9}{4}$C²-36）=0得：C=±$\frac{5}{2}$，
故x=$\frac{9}{5}$，或x=-$\frac{9}{5}$，（舍去），
則y=$\frac{8}{5}$，
即M點的坐標為（$\frac{9}{5}$，$\frac{8}{5}$），
則點M到直線l的距離d=$\frac{|\frac{9}{5}+2×\frac{8}{5}-10|}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{5}$

點評 本題考查的知識點是簡單的極坐標方程，直線與圓錐曲線的關系，難度中檔．