Question

16．已知函數f（x）=x-lnx+m，若曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線方程為x-2y-2ln2=0．
（1）求m的值；
（2）若對于任意x∈（0，1]，總有f（x）≥a（x-1）²，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（2），求出切線方程即可；
（2）設g（x）=f（x）-a（x-1）²，求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，求出函數的最小值即可，從而確定a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=1-$\frac{1}{x}$，則f′（2）=$\frac{1}{2}$，又因為切點為（2，2-ln2+m），
所以切線方程為y-（2-ln2+m）=$\frac{1}{2}$（x-2），
即：x-2y-2ln2+2+2m=0，
所以2+2m=0，即m=-1．
（2）設g（x）=f（x）-a（x-1）²，則g（x）≥0在x∈（0，1]上恒成立，
g′（x）=1-$\frac{1}{x}$-2ax+2a，
若a=0，則g′（x）=1-$\frac{1}{x}$≤0在（0，1]上恒成立，g（x）在（0，1]上單調遞減，
g（x）_min=g（1）=0，所以g（x）≥0符合題意．
若a≠0，則g′（x）=$\frac{-2{ax}^{2}+（2a+1）x-1}{x}$，
令g′（x）=0，得x=1或x=$\frac{1}{2a}$，
若a＜0則$\frac{1}{2a}$＜0，則g′（x）≤0，在（0，1]上恒成立，
g（x）在（0，1]上單調遞減，
g（x）_min=g（1）=0，所以g（x）≥0符合題意．
若a＞$\frac{1}{2}$，則0＜$\frac{1}{2a}$＜1，
當x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時，g′（x）＜0，g（x）單調遞減；當x∈（$\frac{1}{2a}$，1）時，g′（x）＞0，g（x）單調遞增．
這時g（x）_min=g（$\frac{1}{2a}$）＜g（1）=0，不符合題意．
若0＜a≤$\frac{1}{2}$，則$\frac{1}{2a}$≥1，則g′（x）≤0在（0，1]上恒成立，g（x）在（0，1]上單調遞減，
g（x）_min=g（1）=0，所以g（x）≥0符合題意．綜上所述：a≤$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了切線方程問題，考查函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．