Question

7．在△ABC中，已知b=3cm、c=2cm，A=60°；
（1）求a的長；
（2）求△ABC的面積；
（3）求sin2C的值．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA的式子，代入題中數據直接加以計算，即可得到本題答案．
（2）利用三角形面積公式即可計算得解．
（3）利用正弦定理可求sinC，利用同角三角函數基本關系式可求cosC，進而根據二倍角的正弦函數公式即可計算得解．

解答 解：（1）∵在△ABC中，b=3cm、c=2cm，A=60°，
∴由余弦定理，得：a²=b²+c²-2bccosA=9+4-2×3×2×$\frac{1}{2}$=7，
∴解之得a=$\sqrt{7}$．
（2）S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×3×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
（3）∵c=2cm，A=60°，a=$\sqrt{7}$，
∴由正弦定理可得：sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴由c＜b，可得C為銳角，可得cosC=$\sqrt{1-si{n}^{2}C}$=$\frac{2\sqrt{7}}{7}$，
∴sin2C=2sinCcosC=2×$\frac{\sqrt{21}}{7}×\frac{2\sqrt{7}}{7}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$．

點評 本題主要考查了余弦定理，三角形面積公式，正弦定理，同角三角函數基本關系式，二倍角的正弦函數公式在三角函數化簡求值中的應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．