Question

5．若定義在[-2017，2017]上的函數f（x）滿足：對任意x₁∈[-2017，2017]，x₂∈[-2017，2017]都有f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂）-2016，且x＞0時有f（x）＞2016，f（x）的最大值、最小值分別為M、N，則M+N=（　�。�

• A． 2016
• B． 2017
• C． 4034
• D． 4032

Answer 1

分析 計算f（0）=2016，構造函數g（x）=f（x）-2016，判斷g（x）的奇偶性得出結論．

解答 解：令x₁=x₂=0得f（0）=2f（0）-2016，∴f（0）=2016，
令x₁=-x₂得f（0）=f（-x₂）+f（x₂）-2016=2016，
∴f（-x₂）+f（x₂）=4032，
令g（x）=f（x）-2016，則g_max（x）=M-2016，g_min（x）=N-2016，
∵g（-x）+g（x）=f（-x）+f（x）-4032=0，
∴g（x）是奇函數，
∴g_max（x）+g_min（x）=0，即M-2016+N-2016=0，
∴M+N=4032．
故選D．

點評 本題考查了奇偶性的判斷與性質，屬于中檔題．