Question

14．設a_n（n=2，3，4，…）是（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中x的一次項的系數，則$\frac{2017}{1008}$（$\frac{{3}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{3}^{2017}}{{a}_{2017}}$）的值是36．

Answer 1

分析 再展開式中令x的指數為1可得x的一次項系數即a_n=C_n²3^n-2，n≥2，在根據所求式子的結構特點，構造數列$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=18（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），根據裂項求和即可．

解答 解：（3+$\sqrt{x}$）ⁿ的展開式中的通項為C_n^r3^n-rx${\;}^{\frac{r}{2}}$，
令$\frac{r}{2}$=1得r=2，展開式中x的一次項系數為C_n²3^n-2，
即a_n=C_n²3^n-2，n≥2，
∴$\frac{{3}^{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{3}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{18}{n（n-1）}$=18（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），
∴$\frac{2017}{1008}$（$\frac{{3}^{2}}{{a}_{2}}$+$\frac{{3}^{3}}{{a}_{3}}$+…+$\frac{{3}^{2017}}{{a}_{2017}}$）=$\frac{2017}{1008}$×18×（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$）=$\frac{2017}{1008}$×18×（1-$\frac{1}{2017}$）=36，
故答案為：36．

點評 本題考查了二項式定理展開式的系數，以經濟裂項求和，屬于中檔題