Question

3．在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和為S_n滿足S_n²=a_n（S_n-1），設b_n=log₂$\frac{S_n}{{{S_{n+2}}}}$，數列{b_n}的前n項和為T_n，則滿足T_n≥6的最小正整數n是（　　）

• A． 10
• B． 11
• C． 12
• D． 9

Answer 1

分析 在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和為S_n滿足S_n²=a_n（S_n-1），即S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1），化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1．利用等差數列的通項公式可得：S_n=$\frac{1}{n}$．可得b_n=log₂$\frac{S_n}{{{S_{n+2}}}}$=$lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}$，利用對數的運算性質可得：數列{b_n}的前n項和為T_n=$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．由$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≥6，解得（n+1）（n+2）≥2⁷，解得n．

解答 解：在數列{a_n}中，a₁=1，當n≥2時，其前n項和為S_n滿足S_n²=a_n（S_n-1），
∴S_n²=（S_n-S_n-1）（S_n-1），化為：$\frac{1}{{S}_{n}}$-$\frac{1}{{S}_{n-1}}$=1．
∴數列$\{\frac{1}{{S}_{n}}\}$是等差數列，首項為1，公差為1．
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=1+（n-1）=n，解得：S_n=$\frac{1}{n}$．
∴b_n=log₂$\frac{S_n}{{{S_{n+2}}}}$=$lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}$，
數列{b_n}的前n項和為T_n=$lo{g}_{2}\frac{3}{1}$+$lo{g}_{2}\frac{4}{2}$+$lo{g}_{2}\frac{5}{3}$+…+$lo{g}_{2}\frac{n+1}{n-1}$+$lo{g}_{2}\frac{n+2}{n}$
=$lo{g}_{2}（\frac{3}{1}×\frac{4}{2}×\frac{5}{3}×…×\frac{n+1}{n-1}×\frac{n+2}{n}）$
=$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$．
由T_n≥6，即$lo{g}_{2}\frac{（n+1）（n+2）}{2}$≥6，解得（n+1）（n+2）≥2⁷，
令f（x）=x²+3x-126
=$（x+\frac{3}{2}）^{2}$-128-$\frac{1}{4}$，
可得：f（x）在[1，+∞）上單調遞增．
而f（9）=-19＜0，f（10）=4＞0，
若x∈N^*，則n≥10．
則滿足T_n≥6的最小正整數n是10．
故選：A．

點評 本題考查了對數的運算性質、等差數列的通項公式、數列遞推關系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．