Question

11．已知函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx（e為自然對數的底數）有且只有一個零點，則實數k的取值范圍是（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

Answer 1

分析 把函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx有且只有一個零點轉化為方程k=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$有且只有一根，構造函數g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，求出函數的導函數，再求其極值，數形結合得答案．

解答 解：由f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx=0，得$\frac{{e}^{x}}{x}$=kx，
∵x≠0，∴k=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
令g（x）=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，則g′（x）=$\frac{{e}^{x}（x-2）}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得x=1，
當x＞2或x＜0時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增，
當0＜x＜2時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
∴當x=2時，函數有極小值，即g（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
且當x＜0，時，g（x）∈（0，+∞），
∵函數f（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$-kx（e為自然對數的底數）有且只有一個零點，結合圖象可得，
∴0＜k＜$\frac{{e}^{2}}{4}$，
故答案為：（0，$\frac{{e}^{2}}{4}$）．

點評 本題考查根的存在性及根的個數判斷，考查利用導數求函數的極值，熟練掌握函數零點與方程根之間的對應關系是解答的關鍵，是中檔題．