Question

20．已知極坐標系的極點為平面直角坐標系xOy的原點，極軸為x軸正半軸，兩種坐標系中的長度單位相同，曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$為參數），直線l過點（-1，0），且斜率為$\frac{1}{2}$，射線OM的極坐標方程為$θ=\frac{3π}{4}$．
（1）求曲線C和直線l的極坐標方程；
（2）已知射線OM與圓C的交點為O，P，與直線l的交點為Q，求線段PQ的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的參數方程消去參數得到曲線C的普通方程，將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出曲線C的極坐標方程；先求出直線l的方程，由此能求出直線l的極坐標方程．
（2）當$θ=\frac{3π}{4}$時，分別求出|OP|和|OQ|，由此能求出線段PQ的長．

解答 解：（1）∵曲線C的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$為參數），
∴曲線C的普通方程為（x+1）²+（y-1）²=2，
將x=ρcosθ，y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ-2sinθ=0，
即曲線C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）$．
∵直線l過點（-1，0），且斜率為$\frac{1}{2}$，
∴直線l的方程為$y=\frac{1}{2}（{x+1}）$，
∴直線l的極坐標方程為ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）當$θ=\frac{3π}{4}$時，$|{OP}|=2\sqrt{2}sin（{\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}，|{OQ}|=\frac{1}{{2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
故線段PQ的長為$2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{3}=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．

點評 本題考查曲線和直線的極坐標方程的求法，考查線段長的求法，考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．