Question

19．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點M、N分別是直線CD、AB上的動點，點P是△A₁C₁D內(nèi)的動點（不包括邊界），記直線D₁P與MN所成角為θ，若θ的最小值為$\frac{π}{3}$，則點P的軌跡是（　　）

• A． 圓的一部分
• B． 橢圓的一部分
• C． 拋物線的一部分
• D． 雙曲線的一部分

Answer 1

分析 把MN平移到面A₁B₁C₁D₁中，直線D₁P與MN所成角為θ，直線D₁P與MN所成角的最小值，是直線D₁P與面A₁B₁C₁D₁所成角，即原問題轉(zhuǎn)化為：直線D₁P與面A₁B₁C₁D₁所成角為$\frac{π}{3}$，求點P的軌跡．點P在面A₁B₁C₁D₁的投影為圓的一部分，則點P的軌跡是橢圓的一部分．

解答 解：把MN平移到面A₁B₁C₁D₁中，直線D₁P與MN所成角為θ，
直線D₁P與MN所成角的最小值，是直線D₁P與面A₁B₁C₁D₁所成角，
即原問題轉(zhuǎn)化為：直線D₁P與面A₁B₁C₁D₁所成角為$\frac{π}{3}$，
點P在面A₁B₁C₁D₁的投影為圓的一部分，
∵點P是△A₁C₁D內(nèi)的動點（不包括邊界）
∴則點P的軌跡是橢圓的一部分．
故選：B．

點評 本題考查了空間軌跡問題，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．