Question

8．已知函數f（x）=x²，g（x）=x-1．
（1）若存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），求實數b的取值范圍；
（2）設F（x）=f（x）-mg（x）+1-m，若F（x）≥0在區間[2，5]上恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），即存在x∈R，x²-bx+b＜0，則△＞0，即b²-4b＞0，
即可得到b的取值范圍．
（2）由題意可知x²-mx+1≥0在區間[2，5]上恒成立，
即$m≤x+\frac{1}{x}$在區間[2，5]上恒成立，求出$y=x+\frac{1}{x}$得最小值即可，

解答 解：（1）存在x∈R，使f（x）＜b•g（x），即存在x∈R，x²-bx+b＜0，
則△＞0，即b²-4b＞0，
所以b的取值范圍為（-∞，0）∪（4，+∞）；
（2）由題意可知x²-mx+1≥0在區間[2，5]上恒成立，
即$m≤x+\frac{1}{x}$在區間[2，5]上恒成立，
由于$y=x+\frac{1}{x}$在[2，5]上單調遞增，所以當x=2時，$y=x+\frac{1}{x}$有最小值$\frac{5}{2}$，
所以$m≤\frac{5}{2}$．即 實數m的取值范圍為（-$∞，\frac{5}{2}$]．

點評 本題考查了二次函數的性質，分離參數法求參數的范圍，屬于中檔題．