Question

16．如圖，在三棱錐D-ABC中，$AC=BC=1，CD=AB=\sqrt{2}，AD=BD=\sqrt{3}$，若該三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)均在同一球面上，則該球的體積為（　　）

• A． $\frac{32π}{3}$
• B． 4π
• C． 2π
• D． $\frac{4π}{3}$

Answer 1

分析 利用已知條件說明三棱錐是長方體的一個(gè)角，擴(kuò)展幾何體為長方體，求出外接球的半徑，然后求解球的體積．

解答 解：在三棱錐D-ABC中，$AC=BC=1，CD=AB=\sqrt{2}，AD=BD=\sqrt{3}$，
可得AC⊥BC，AC⊥CD，CD⊥CB，則C-ABD三棱錐看作是長方體的一個(gè)角，三棱錐的外接球計(jì)算長方體的外接球，
外接球的半徑為：$\frac{1}{2}\sqrt{1+2+1}$=1．
外接球的體積為：$\frac{4π}{3}×{1}^{3}$=$\frac{4π}{3}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐的外接球的體積的求法，考查空間想象能力以及最后思想計(jì)算能力．