Question

5．已知A，B，C，D是同一球面上的四個點，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD=2AB=6則該球的表面積為32$\sqrt{3}π$．

Answer 1

分析 由題意畫出幾何體的圖形，把A、B、C、D擴展為三棱柱，上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，由此能求出球的體積．

解答 解：由題意畫出幾何體的圖形，
把A、B、C、D擴展為三棱柱，
上下底面中心連線的中點與A的距離為球的半徑，
AD=2AB=6，OE=3，△ABC是正三角形，
∴AE=$\frac{2}{3}\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{1}{2}AB）^{2}}$=$\sqrt{3}$，AO=$\sqrt{{3}^{2}+（\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴球的體積為V=$\frac{4π}{3}（2\sqrt{3}）^{3}$=32$\sqrt{3}π$．
故答案為：32$\sqrt{3}π$．

點評 本題考查球的表面積的求法，考查球、三棱柱等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方思想，是中檔題．