Question

14．共享單車問題：每月供應量a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5{n}^{4}+15，n∈[1，3]}\\{-10n+470，n∈[4，+∞）}\end{array}\right.$，n∈N^*，每月損失量b_n=n+5（n∈N^*），保有量Q為a_n的累計量減去b_n的累計和．
（1）求第4月的保有量；
（2）S_n=-（n-46）²+8800，記S_n為自行車停放點容納車輛，當Q取最大值時，停放點是否能容納？

Answer 1

分析 （1）由題意可得第4月的保有量為Q=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+（a₃-b₃）+（a₄-b₄），代入計算即可得到所求值；
（2）計算當n≥4時，Q=935+（-10×5+470）-（5+5）+…+（-10n+470）-（n+5），應用等差數列的求和公式，化簡整理可得Q，再由二次函數的性質，可得Q的最大值，求出此時自行車停放點容納車輛，比較即可得到結論．

解答 解：（1）a_n=$\left\{\begin{array}{l}{5{n}^{4}+15，n∈[1，3]}\\{-10n+470，n∈[4，+∞）}\end{array}\right.$，n∈N^*，b_n=n+5（n∈N^*），
可得第4月的保有量為Q=（a₁-b₁）+（a₂-b₂）+（a₃-b₃）+（a₄-b₄）
=（5+15-6）+（5×16+15-7）+（5×81+15-8）+（-40+470-9）=14+88+412+421=935；
（2）當n≥4時，Q=935+（-10×5+470）-（5+5）+…+（-10n+470）-（n+5）
=935+（-10）×$\frac{（n-4）（n+5）}{2}$+470（n-4）-$\frac{（n-4）（n+5）}{2}$-5（n-4）
=-$\frac{11}{2}$n²+$\frac{919}{2}$n-815，
可得Q=$\left\{\begin{array}{l}{14，n=1}\\{102，n=2}\\{514，n=3}\\{-\frac{11}{2}{n}^{2}+\frac{919}{2}n-815，n≥4}\end{array}\right.$，n∈N^*，
n≥4時，由于對稱軸為-$\frac{919}{2×11}$與42距離最小，
則當n=42時，Q取得最大值8782．
此時，S₄₂=-（42-46）²+8800=8784＞8782．
則當Q取最大值時，停放點能容納．

點評 本題考查函數模型在實際問題中的應用，考查二次函數的最值求法，注意n為自然數，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．