Question

5．已知定點A（a，0）和定直線x=b（0＜a＜b），動點P，Q分別在y軸和直線x=b上移動，且滿足AP⊥AQ，側△APQ的面積取得最小值時的點P的坐標為（0，a）．

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，設出P、Q的坐標，列出△APQ的面積，然后利用基本不等式求最值．

解答 解：如圖，

A（a，0），
設P（0，m），Q（b，n），則$\overrightarrow{AP}=（-a，m）$，$\overrightarrow{AQ}=（b-a，n）$．
由$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=0$，得-a（b-a）+mn=0，即mn=ab-a²．
${S}_{△APQ}=\frac{1}{2}[（m+n）b-am-（b-a）n]$=$\frac{1}{2}[（b-a）m+an]$$≥\frac{1}{2}×2\sqrt{（ab-{a}^{2}）mn}$
=$\sqrt{{a}^{2}（b-a）^{2}}=a（b-a）$．
當且僅當（b-a）m=an，即m=a時上式等號成立．
∴P（0，a）．
故答案為：（0，a）．

點評 本題考查函數(shù)最值的求法，訓練了利用基本不等式求函數(shù)的最值，考查向量垂直與數(shù)量積間關系的應用，是中檔題．