Question

11．已知f（x）=x²+3x，若|x-a|≤1，則下列不等式一定成立的是（　　）

• A． |f（x）-f（a）|≤3|a|+3
• B． |f（x）-f（a）|≤2|a|+4
• C． |f（x）-f（a）|≤|a|+5
• D． |f（x）-f（a）|≤2（|a|+1）²

Answer 1

分析 結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知，當(dāng)f（x）在區(qū)間[a-1，a+1]單調(diào)時，|f（x）-f（a）|的最大值為|f（a+1）-f（a）|或|f（a-1）-f（a）|，從而得出結(jié)論．

解答 解：∵|x-a|≤1，∴a-1≤x≤a+1，
∵f（x）是二次函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[a-1，a+1]上單調(diào)時，|f（x）-f（a）|取得最大值為|f（a+1）-f（a）|或|f（a-1）-f（a）|，
而|f（a+1）-f（a）|=|（a+1）²+3（a+1）-a²-3a）|=|2a+4|≤2|a|+4，
|f（a-1）-f（a）|=|（a-1）²+3（a-1）-a²-3a|=|-2a-2|=|2a+2|≤2|a|+2．
∴|f（x）-f（a）|≤2|a|+4，
故選B．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的最值研究恒成立問題的思路，同時結(jié)合函數(shù)圖象分析問題是關(guān)鍵．