Question

7．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1
（1）求直線l的普通方程和曲線C的參數方程；
（2）若點M在曲線C上運動，試求出M到直線l的距離的范圍．

Answer 1

分析 （1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程．由曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，令x=2cosθ，y=sinθ，可得參數方程．
（2）設M（2cosθ，sinθ），可得點M到直線l的距離d=$\frac{4-2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}{\sqrt{5}}$，利用三角函數的單調性值域即可得出．

解答 解：（1）直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{2\sqrt{5}}{5}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{5}}{5}t}\end{array}\right.$（t為參數），消去參數t可得普通方程：x+2y-4=0．
由曲線C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，令x=2cosθ，y=sinθ，可得參數方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數）．
（2）設M（2cosθ，sinθ），
∴點M到直線l的距離d=$\frac{|2cosθ+2sinθ-4|}{\sqrt{5}}$=$\frac{4-2\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）}{\sqrt{5}}$∈$[\frac{（4-2\sqrt{2}）\sqrt{5}}{5}，\frac{（4+2\sqrt{2}）\sqrt{5}}{5}]$．

點評 本題考查了參數方程的應用、三角函數的單調性值域與和差公式、點到直線的距離公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．