Question

17．為提高市場銷售業績，某公司設計兩套產品促銷方案（方案1運作費用為5元/件；方案2的運作費用為2元/件），并在某地區部分營銷網點進行試點（每個試點網點只采用一種促銷方案），運作一年后，對比該地區上一年度的銷售情況，分別統計相應營銷網點個數，制作相應的列聯表如表所示．

	無促銷活動	采用促銷方案1	采用促銷方案2
本年度平均銷售額不高于上一年度平均銷售額	48	11	31	90
本年度平均銷售額高于上一年度平均銷售額	52	69	29	150
	100	80	60

（Ⅰ）請根據列聯表提供的信息，為該公司今年選擇一套較為有利的促銷方案（不必說明理由）；
（Ⅱ）已知該公司產品的成本為10元/件（未包括促銷活動運作費用），為制定本年度該地區的產品銷售價格，統計上一年度的8組售價x_i（單位：元/件，整數）和銷量y_i（單位：件）（i=1，2，…8）如表所示：

售價x	33	35	37	39	41	43	45	47
銷量y	840	800	740	695	640	580	525	460

（ⅰ）請根據下列數據計算相應的相關指數R²，并根據計算結果，選擇合適的回歸模型進行擬合；
（ⅱ）根據所選回歸模型，分析售價x定為多少時？利潤z可以達到最大．

	$\hat y=-1200lnx+5000$	$\hat y=-27x+1700$	$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$
$\sum_{i=1}^8{（{y_i}}-{\hat y_i}{）^2}$	49428.74	11512.43	175.26
$\sum_{i=1}^8{（{y_i}}-\overline y{）^2}$	124650

參考公式：相關指數M．

Answer 1

分析 （I）根據本年度平均銷售額高于上一年度平均銷售額時，兩種方案的采用數量對比進行選擇；
（II）（i）代入相關指數公式計算即可，并選擇相關指數最大的模型；
（ii）求出利潤關于售價的函數關系式，利用導數求出函數的極大值點即可．

解答 解：（Ⅰ）由列聯表信息可知，年度平均銷售額與方案1的運作相關性強于方案2．
（Ⅱ）（ⅰ）由已知數據可知，回歸模型$\hat y=-1200lnx+5000$對應的相關指數R₁²=1-$\frac{49428.74}{124650}$=0.6035；
回歸模型$\hat y=-27x+1700$對應的相關指數R₂²=1-$\frac{11512.43}{124650}$=0.9076；
回歸模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$對應的相關指數R₃²=1-$\frac{175.26}{124650}$=0.9986．
因為$R_3^2＞R_2^2＞R_1^2$，所以采用回歸模型$\hat y=-\frac{1}{3}{x^2}+1200$進行擬合最為合適．
（ⅱ）由（Ⅰ）可知，采用方案1的運作效果較方案2好，
故年利潤$z=（-\frac{1}{3}{x^2}+1200）（x-15）$，z'=-（x+30）（x-40），
當x∈（0，40）時，$z=（-\frac{1}{3}{x^2}+1200）（x-15）$單調遞增；
當x∈（40，+∞）時，$z=（-\frac{1}{3}{x^2}+1200）（x-15）$單調遞減．
故當售價x=40時，利潤達到最大．

點評 本題考查了回歸分析，回歸模型的比較，屬于中檔題．