Question

8．已知函數f（x）=|2x-a|+|x-1|，a∈R．
（Ⅰ）若不等式f（x）≥2-|x-1|恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當a=1時，直線y=m與函數f（x）的圖象圍成三角形，求m的最大值及此時圍成的三角形的面積．

Answer 1

分析 （I）利用絕對值三角不等式得出|x-$\frac{a}{2}$|+|x-1|的最小值，從而解出a的范圍；
（II）做出f（x）的函數圖象，根據函數圖象得出m的范圍．

解答 解：（I）∵f（x）≥2-|x-1|恒成立，即|x-$\frac{a}{2}$|+|x-1|≥1恒成立，
又|x-$\frac{a}{2}$|+|x-1|≥|x-$\frac{a}{2}$-（x-1）|=|1-$\frac{a}{2}$|，
∴|1-$\frac{a}{2}$|≥1，解得a≤0或a≥4．
∴a的取值范圍是（-∞，0]∪[4，+∞）．
（II）當a=1時，f（x）=|2x-1|+|x-1|=$\left\{\begin{array}{l}{2-3x，x≤\frac{1}{2}}\\{x，\frac{1}{2}＜x＜1}\\{3x-2，x≥1}\end{array}\right.$，
做出f（x）的函數圖象如圖所示：

由圖象可知當$\frac{1}{2}$＜m≤1時，直線y=m與f（x）的圖象構成三角形．
∴m的最大值為1，
令2-3x=1得x=$\frac{1}{3}$，此時圍成三角形的面積為$\frac{1}{2}×$（1-$\frac{1}{3}$）×（1-$\frac{1}{2}$）=$\frac{1}{6}$．

點評 本題考查了絕對值不等式的解法，分段函數的函數圖象，屬于中檔題．