Question

7．已知y=f（x）是二次函數，方程f（0）=1，且f′（x）=2x+2
（1）求f（x）的解析式．
（2）求函數y=f（x）與y=-x²-4x+1所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數以及導數的關系式得到解析式的系數；求導解析式；
（2）利用定積分表示圖象面積，然后計算定積分．

解答 解：（1）∵y=f（x）是二次函數，且f'（x）=2x+2．∴可設f（x）=x²+2x+c．
又∵方程f（0）=1得到c=1，
∴f（x）=x²+2x+1；
（2）∵函數f（x）=x²+2x+1與函數y=-x²-4x+1的圖象交于點（0，1），（-3，4），
∴兩函數圖象所圍成的圖形的面積為${∫}_{-3}^{0}（-{x}^{2}-4x+1-{x}^{2}-2x-1）dx$=${∫}_{-3}^{0}（-2{x}^{2}-6x）dx$=（$-\frac{2}{3}{x}^{3}-3{x}^{2}$）|${\;}_{-3}^{0}$=9．

點評 本題考查了二次函數解析式的求法以及定積分的運用；利用定積分的幾何意義表示圖象的面積是關鍵．