Question

2．定義在R上的函數f（x）的導函數為f′（x），f（0）=0．若對任意x∈R，都有f（x）＞f′（x）+1，則使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范圍為（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （-∞，1）
• C． （-1，+∞）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 根據條件構造函數g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，由求導公式和法則求出g′（x），根據條件判斷出g′（x）的符號，得到函數g（x）的單調性，由f（0）=0求出g（0）的值，將不等式進行轉化后，利用g（x）的單調性可求出不等式的解集．

解答 解：構造函數：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$，g（0）=$\frac{f（0）-1}{{e}^{0}}$=-1．
∵對任意x∈R，都有f（x）＞f'（x）+1，
∴g′（x）=$\frac{f′（x）+1-f（x）}{{e}^{x}}$＜0，
∴函數g（x）在R單調遞減，
由f（x）+e^x＜1化為：g（x）=$\frac{f（x）-1}{{e}^{x}}$＜-1=g（0），
∴x＞0．
∴使得f（x）+e^x＜1成立的x的取值范圍為（0，+∞）．
故選：D．

點評 本題主要考查導數與函數的單調性關系，以及利用條件構造函數，利用函數的單調性解不等式是解決本題的關鍵，考查學生的解題構造能力和轉化思想．