Question

14．已知函數$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，則實數a的取值范圍為（　　）

• A． （1，2）
• B． （-∞，1]∪[2，+∞）
• C． （-∞，3]∪[6，+∞）
• D． （3，6）

Answer 1

分析 要使函數$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，只需函數f（x）在區間（1，2）上單調即可，即f'（x）=3x²-（a+3）x+a=0在區間（1，2）上無解，即可求實數a的取值范圍．

解答 解：f'（x）=3x²-（a+3）x+a；要使函數$f（x）={x^3}-\frac{（3+a）}{2}{x^2}+ax$在（1，2）上不存在最值，
只需函數f（x）在區間（1，2）上單調即可，即3x²-（a+3）x+a=0在區間（1，2）上無解；
a（x-1）=3x（x-1）在區間（1，2）上無解，a=3x在區間（1，2）上無解；，
x∈（1，2）時，3x∈（3，6），
實數a的取值范圍為：（-∞，3]∪[6，+∞）．
故選：C

點評 本題主要考查利用導數研究函數的單調性，考查函數的最值，考查學生的計算能力，屬于中檔題．