Question

6．若$|{\overrightarrow a}|=2，\overrightarrow b=（{\sqrt{2}，\sqrt{2}}），\overrightarrow a•（{\overrightarrow b-\overrightarrow a}）+2=0$，則向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 設向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，先求出$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4cosθ，再根據向量的數量積即可求出

解答 解：設向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為θ，
∵|$\overrightarrow{a}$|=2，$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{2}$，$\sqrt{2}$），
∴|$\overrightarrow{b}$|=2，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=2×2×cosθ=4cosθ，
∵$\overrightarrow{a}$（$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$）+2=0，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$-|$\overrightarrow{a}$|²+2=0，
∴cosθ=$\frac{1}{2}$，
∵0≤θ≤π，
∴θ=$\frac{π}{3}$，
故答案為：$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了向量的數量積的運算和向量的模因向量的夾角，屬于基礎題