Question

1．已知f（x）是定義在R上的單調遞增函數，則下列四個命題：①若f（x₀）＞x₀，則f[f（x₀）]＞x₀；②若f[f（x₀）]＞x₀，則f（x₀）＞x₀；③若f（x）是奇函數，則f[f（x）]也是奇函數；④若f（x）是奇函數，則f（x₁）+f（x₂）=0?x₁+x₂=0，其中正確的有（　　）

• A． 4個
• B． 3個
• C． 2個
• D． 1個

Answer 1

分析 ①，由f（x）是定義在R上的單調遞增函數，若f（x₀）＞x₀，則f[f（x₀）]＞f（x₀）＞x₀，；
②，若f（x₀）≤x₀，由f（x）是定義在R上的單調遞增函數得f[f（x₀）]≤f（x₀）≤x₀與已知矛盾；
③，由奇函數的性質及判定得f[f（-x）]=f[-f（x）]=-f[f（-x）]，即可判定；
④，若f（x₁）+f（x₂）=0，則f（x₁）=-f（x₂）⇒x₁=-x₂⇒x₁+x₂=0；若x₁+x₂=0⇒x₁=-x₂⇒f（x₁）=f（-x₂）=-f（x₂）⇒f（x₁）+f（x₂）=0

解答 解：對于①，∵f（x）是定義在R上的單調遞增函數，若f（x₀）＞x₀，則f[f（x₀）]＞f（x₀）＞x₀，故①正確；
對于②，當f[f（x₀）]＞x₀時，若f（x₀）≤x₀，由f（x）是定義在R上的單調遞增函數得f[f（x₀）]≤f（x₀）≤x₀與已知矛盾，故②正確；
對于③，若f（x）是奇函數，則f[f（-x）]=f[-f（x）]=-f[f（-x）]，∴f[f（x）]也是奇函數，故③正確；
對于④，當f（x）是奇函數，且是定義在R上的單調遞增函數時，若f（x₁）+f（x₂）=0，則f（x₁）=-f（x₂）⇒x₁=-x₂⇒x₁+x₂=0；
若x₁+x₂=0⇒x₁=-x₂⇒f（x₁）=f（-x₂）=-f（x₂）⇒f（x₁）+f（x₂）=0，故④正確；
故選：A

點評 本題考查了命題真假的判斷，考查了函數的概念、性質，屬于中檔題．