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19.已知函數f(x)=x3-ax2-3x.
(1)若f(x)在[1,+∞)上是增函數,求實數a的取值范圍;
(2)若x=3是f(x)的極值點,求f(x)的單調區間及在[2,4]上的最值.

分析 (1)對函數f(x)=x3-ax2-3x進行求導,轉化成f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,求出參數a的取值范圍;
(2)先求導,再根據f′(3)=0,求得a=5,再根據導數求出函數極值,和端點值,求出最值即可.

解答 解:(1)y=3x2-2ax-3,
∵f(x)在[1,+∞)上是增函數,
∴f′(x)在[1,+∞)上恒有f′(x)≥0,
即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.
則必有$\frac{a}{3}$≤1且f′(1)=-2a≥0,
∴a≤0;
實數a的取值范圍是(-∞,0].
(2)∵f(x)=x3-ax2+3x.
∴f′(x)=3x2-2ax+3.
由題意有f′(3)=0,解得a=5,
故f(x)=x3-5x2+3x,
∴f′(x)=3x2-10x+3.
令 f′(x)=0,解得 x=3∈[2,4],x=$\frac{1}{3}$ (舍去),
易知f(x)在區間[2,3]上單調遞減,在[3,4]上單調遞增,
而f(2)=-6,f(4)=-4,f(3)=-9,
故f(x)在區間[2,4]上的最大值為-4,最小值為-9.

點評 本題考查函數與導函數的關系,函數的單調性與導數的關系,通過函數的導數求解函數極值,考查轉化思想與計算能力.

練習冊系列答案
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10.已知圓A的方程為x2+y2-2x-2y-7=0,圓B的方程為x2+y2+2x+2y-2=0,
(Ⅰ)判斷圓A與圓B是否相交,若相交,求過兩交點的直線方程及兩交點間的距離;若不相交,請說明理由.
(Ⅱ)求兩圓的公切線長.

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7.如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=3,AB=$\sqrt{3}$,D是AB的中點,點E在BB1上,B1E=$\frac{1}{6}$BB1,求證.
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(Ⅱ)平面A1C1E⊥平面B1CD.

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14.給出下列關于互不相同的直線M,l,n和平面α、β的四個命題:
①若m?α,l∩α=A,點A∉m,則l與m異面;
②若m、l是異面直線,l∥α,m∥α,且n⊥l,n⊥m,則n⊥α;
③若m⊥n,n⊥β,β⊥α,則m⊥α;
④若m⊥β,n⊥β,n⊥α,則m⊥α;
⑤若l?α,m?α,l∩m=A,l∥β,m∥β,則α∥β.
其中為真命題的個數是(  )
A.2B.3C.4D.5

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4.下列命題中所有正確的序號是④⑤.
①存在$x∈(0,\frac{π}{2})$,使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$;
②存在區間(a,b),使y=cosx為減函數而sinx<0;
③y=tanx在定義域內為增函數;
④y=cos2x+sin($\frac{π}{2}$-x)有最大值2,且是偶函數;
⑤若函數f(x)=asin2x+btanx+1,且f(-3)=5,則f(π+3)=-3.

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11.某公司推出了一種高效環保型洗滌用品,年初上市后,公司經歷了從虧損到贏利的過程.若該公司年初以來累積利潤 s(萬元)與銷售時間 t(月)之間的關系(即前t個月的利潤總和與t之間的關系式)為s=$\frac{1}{2}$t2-2t,若累積利潤 s 超過30萬元,則銷售時間t(月)的取值范圍為(  )
A.t>10B.t<10C.t>30D.t<30

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8.下列四個命題:
(1)函數$y=sin(2x+\frac{π}{3})在區間(-\frac{π}{3},\frac{π}{6})$內單調遞增.
(2)函數$y=cos(x+\frac{π}{3})$的圖象關于點$(\frac{π}{6},0)$對稱.
(3)函數$y=tan(x+\frac{π}{3})$的圖象關于直線$x=\frac{π}{6}$成軸對稱.
(4)把函數y=3sin(2x+$\frac{π}{3}$)的圖象向右平移$\frac{π}{6}$得到函數y=3sin2x的圖象.
其中真命題的序號是(2)(4).

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9.已知向量$\overrightarrow a=(-2,cosα)$,$\overrightarrow b=(-1,sinα)$,$\overrightarrow a∥\overrightarrow b$,則$tan(α+\frac{π}{4})$等于(  )
A.3B.-3C.$\frac{1}{3}$D.$-\frac{1}{3}$

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