Question

19．已知函數f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的極值點，求f（x）的單調區間及在[2，4]上的最值．

Answer 1

分析 （1）對函數f（x）=x³-ax²-3x進行求導，轉化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，求出參數a的取值范圍；
（2）先求導，再根據f′（3）=0，求得a=5，再根據導數求出函數極值，和端點值，求出最值即可．

解答 解：（1）y=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有$\frac{a}{3}$≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0；
實數a的取值范圍是（-∞，0]．
（2）∵f（x）=x³-ax²+3x．
∴f′（x）=3x²-2ax+3．
由題意有f′（3）=0，解得a=5，
故f（x）=x³-5x²+3x，
∴f′（x）=3x²-10x+3．
令 f′（x）=0，解得 x=3∈[2，4]，x=$\frac{1}{3}$ （舍去），
易知f（x）在區間[2，3]上單調遞減，在[3，4]上單調遞增，
而f（2）=-6，f（4）=-4，f（3）=-9，
故f（x）在區間[2，4]上的最大值為-4，最小值為-9．

點評 本題考查函數與導函數的關系，函數的單調性與導數的關系，通過函數的導數求解函數極值，考查轉化思想與計算能力．