Question

4．下列命題中所有正確的序號是④⑤．
①存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$；
②存在區間（a，b），使y=cosx為減函數而sinx＜0；
③y=tanx在定義域內為增函數；
④y=cos²x+sin（$\frac{π}{2}$-x）有最大值2，且是偶函數；
⑤若函數f（x）=asin2x+btanx+1，且f（-3）=5，則f（π+3）=-3．

Answer 1

分析 求出$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，sinx+cosx的范圍，可判斷①；根據導數符號與原函數單調性的關系，可判斷②；根據正切函數的單調性，可判斷③；分析函數的最值和奇偶性，可判斷④；根據函數的奇偶和周期性，可判斷⑤

解答 解：$sinx+cosx=\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$，$x∈（0，\frac{π}{2}）$時，$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）$∈（1，$\sqrt{2}$]，
故①存在$x∈（0，\frac{π}{2}）$，使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$，錯誤；
②y=cosx，則y′=-sinx，若存在區間（a，b），使y=cosx為減函數，則sinx≥0恒成立，錯誤；
③y=tanx在定義域內圖象不連續，不為增函數；
④y=cos²x+sin（$\frac{π}{2}$-x）=cos²x+cosx在cosx=1時有最大值2，且是偶函數，正確；
⑤若函數f（x）=asin2x+btanx+1，則f（-x）+f（x）=2，若f（-3）=5，則f（π+3）=f（3）=-3，正確．
故答案為：④⑤

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了三角函數的圖象和性質，難度中檔．