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4.下列命題中所有正確的序號是④⑤.
①存在$x∈(0,\frac{π}{2})$,使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$;
②存在區間(a,b),使y=cosx為減函數而sinx<0;
③y=tanx在定義域內為增函數;
④y=cos2x+sin($\frac{π}{2}$-x)有最大值2,且是偶函數;
⑤若函數f(x)=asin2x+btanx+1,且f(-3)=5,則f(π+3)=-3.

分析 求出$x∈(0,\frac{π}{2})$時,sinx+cosx的范圍,可判斷①;根據導數符號與原函數單調性的關系,可判斷②;根據正切函數的單調性,可判斷③;分析函數的最值和奇偶性,可判斷④;根據函數的奇偶和周期性,可判斷⑤

解答 解:$sinx+cosx=\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})$,$x∈(0,\frac{π}{2})$時,$\sqrt{2}sin(x+\frac{π}{4})$∈(1,$\sqrt{2}$],
故①存在$x∈(0,\frac{π}{2})$,使$sinx+cosx=\frac{1}{3}$,錯誤;
②y=cosx,則y′=-sinx,若存在區間(a,b),使y=cosx為減函數,則sinx≥0恒成立,錯誤;
③y=tanx在定義域內圖象不連續,不為增函數;
④y=cos2x+sin($\frac{π}{2}$-x)=cos2x+cosx在cosx=1時有最大值2,且是偶函數,正確;
⑤若函數f(x)=asin2x+btanx+1,則f(-x)+f(x)=2,若f(-3)=5,則f(π+3)=f(3)=-3,正確.
故答案為:④⑤

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體,考查了三角函數的圖象和性質,難度中檔.

練習冊系列答案
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