Question

已知過拋物線y²=8x的焦點F的弦AB的中點M，求M到x+2y+4=0的最短距離．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求M點的軌跡方程，也是拋物線，再平移直線x+2y+4=0與M的軌跡方程相切，切點到直線x+2y+4=0的距離即為所求．

解答： 解：設過拋物線y²=8x的焦點F（2，0）的弦AB的方程為x-2=my，
則x=my+2，代入y²=8x得：y²-8my-16=0，
故弦AB的中點M的綜坐標為：

1

2

×8m=4m，
代入x=my+2得x=4m²+2，
∴故弦AB的中點M的坐標為：（4m²+2，4m），
故弦AB的中點M的軌跡方程為：y²=4（x-2），
令x+2y+c=0與y²=4（x-2）相切，
則y²=-4（2y+c+2），即y²+8y+4c+8=0的△=64-16c-32=0，
解得c=2，
聯立

x+2y+2=0 y2=4(x-2)

得：

x=6 y=-4

由（6，-4）到x+2y+4=0的距離d=

|6-4×2+4|

12+22

=

2 5

5

，
可得M到x+2y+4=0的最短距離為

2 5

5

．

點評：本題考查的知識點是拋物線的簡單性質，直線與圓錐曲線的關系，點到直線的距離，難度中檔．