Question

已知函數f（x）=x³+ax，x∈R．
（1）a=-2時，求證：函數f（x）不是單調函數；
（2）a=0時，求證：函數f（x）是增函數；  
（3）若函數f（x）是增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用,導數的綜合應用

分析：（1）求出導數，求出單調區間，即可得證；（2）運用導數恒大于等于0，即可得證；
（3）求出導數，由條件即有f′（x）≥0在R上恒成立，運用參數分離，求出右邊的最小值即可．

解答： （1）證明：f（x）=x³-2x的導數f′（x）=3x²-2，
則當x＞

6

3

或x＜-

6

3

時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
當-

6

3

＜x＜

6

3

時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
即有函數f（x）在R上不是單調函數；
（2）證明：a=0時，f（x）=x³，
導數f′（x）=3x²≥0，恒成立，
則有f（x）在R上遞增；
（3）解：函數f（x）=x³+ax的導數f′（x）=3x²+a，
由于函數f（x）是增函數，則f′（x）≥0在R上恒成立，
即有-a≤3x²恒成立，由于3x²≥0，
則有-a≤0，即a≥0．
故實數a的取值范圍是[0，+∞）．

點評：本題考查導數的運用：求單調性和單調區間，以及已知單調區間，求參數的范圍，考查運算能力，屬于中檔題．