Question

已知ABCD是正方形，V是平面ABCD外一點(diǎn)，且VA=VB=VC=AB，求二面角A-VB-C的所成角的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：二面角的平面角及求法

專題：空間角

分析：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．點(diǎn)O為正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，由于VA=VB=VC，可得VO⊥平面ABCD．
不妨取OA=1，可得A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），V（0，0，1）．

VB

=（1，0，-1），

AB

=（1，1，0），

BC

=（-1，1，0）．分別求出平面VAB與平面VBC的法向量，利用法向量的夾角即可得出二面角的平面角的余弦值．

解答： 解：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系．
點(diǎn)O為正方形ABCD的對角線的交點(diǎn)，
∵VA=VB=VC，
∴VO⊥平面ABCD．
不妨取OA=1，
則A（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），V（0，0，1）．

VB

=（1，0，-1），

AB

=（1，1，0），

BC

=（-1，1，0）．
設(shè)平面VAB的法向量為

n

=（x，y，z），
則

n • VB =x-z=0 n • AB =x+y=0

，
取

n

=（1，-1，1）．
同理可得：平面VBC的法向量

m

=（1，1，1）．
∴cos＜

m

，

n

＞=

m • n

| m || n |

=

1

3 × 3

=

1

3

．
由圖形可知：二面角A-VB-C的所成角為鈍角，
∴二面角A-VB-C的所成角的余弦值為-

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查了通過建立空間直角坐標(biāo)系利用兩個(gè)平面的法向量的夾角可得出二面角的平面角的余弦值的方法，考查了空間想象能力．考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．