Question

如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，AC和BD交于點E，PA=3，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
（1）若在PC取一點F，滿足

PF

FC

=

1

3

，求證：EF∥平面PAB；
（2）求證：BD⊥平面PAC．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）由AD∥BC，可得

AE

EC

=

AD

BC

=

1

3

，而

PF

FC

=

1

3

，可得

AE

EC

=

PF

FC

．因此EF∥PA．再利用線面平行的判定定理即可得出．
（2）由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥BD．在直角梯形ABCD中，過點D作DM∥AC交BC的延長線于點M．由AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2

3

，BC=6．可得BD²+DM²=BM²，因此BD⊥DM．利用線面垂直的判定定理即可得出．

解答： 證明：（1）∵AD∥BC，∴

AE

EC

=

AD

BC

=

1

3

，
∵

PF

FC

=

1

3

，
∴

AE

EC

=

PF

FC

．
∴EF∥PA．
∵EF?平面PAB，PA?平面PAB．
∴EF∥平面PAB；
（2）∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD．
在直角梯形ABCD中，過點D作DM∥AC交BC的延長線于點M．
∵AD∥BC，∠ABC=90°，AD=2，AB=2

3

，BC=6．
∴BD=

AB2+AD2

=4，AC=

AB2+BC2

=4

3

．
∴BD²+DM²=BM²=8²，
∴BD⊥DM．
即BD⊥AC．
又AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC．

點評：本題考查了線面平行與垂直的判定定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理、梯形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．