Question

14．在平面直角坐標系xOy中，以原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸，建立極坐標系，若直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=cosα}\\{y={y}_{0}+tsinα}\end{array}\right.$（t為參數，α為l的傾斜角），曲線E的極坐標方程為ρ=4sinθ．射線θ=β，θ=β+$\frac{π}{4}$，θ=β-$\frac{π}{4}$與曲線E分別交于不同于極點的三點A、B、C．
（1）求證：|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）當β=$\frac{7π}{12}$時，直線l過B、C兩點，求y₀與α的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知求得丨OA丨，丨OB丨及丨OC丨，即可證明|OB|+|OC|=$\sqrt{2}$|OA|；
（2）當β=$\frac{7π}{12}$時，求得B和C點坐標，求得直線l的方程，即可求得y₀與α的值．

解答 解：（1）證明：由題意可知丨OA丨=4sinβ，丨OB丨=4sin（β+$\frac{π}{4}$），丨OC丨=4sin（β-$\frac{π}{4}$），
則丨OB丨+丨OC丨=4sin（β+$\frac{π}{4}$）+4sin（β-$\frac{π}{4}$）=4$\sqrt{2}$sinβ=$\sqrt{2}$丨OA丨，
（2）當β=$\frac{7π}{12}$時，B點的極坐標為（4sin（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$），（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）），
C的極坐標為（4sin（$\frac{7π}{12}$-$\frac{π}{4}$），（$\frac{7π}{12}$+$\frac{π}{4}$）），
轉化成直角坐標B（-$\sqrt{3}$，1），C（$\sqrt{3}$，3），
則直線l的方程為x-$\sqrt{3}$y+2$\sqrt{3}$=0，
則y₀=2，α=$\frac{π}{6}$．

點評 本題考查極坐標與直角坐標的轉化，考查兩角和的正弦公式，考查計算能力，屬于基礎題．