Question

5．設D是函數y=f（x）定義域的一個子集，若存在x₀∈D，使得f（x₀）=-x₀成立，則稱x₀是f（x）的一個“準不動點”，也稱f（x）在區間D上存在準不動點．已知$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}（{{4^x}+a•{2^x}-1}），x∈[{0，1}]$．
（1）若a=1，求函數f（x）的準不動點；
（2）若函數f（x）在區間[0，1]上存在準不動點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意，當a=1時，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）=-x$，x∈[0，1]，可得函數f（x）的準不動點．
（2）依題意，“f（x）在區間D上有不動點”當且僅當“F（x）=f（x）+x在區間D上有零點”，F（x）在區間[0，1]上是一條連續不斷的曲線，換元法轉化為二次函數問題求解準不動點，可得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意，當a=1時，可得f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+{2}^{x}-1）=-x$，x∈[0，1]，
可得：4^x+2^x-1=2^x，
即4^x=1
∴x=0．
當a=1，函數f（x）的準不動點為x₀=0．
（2）由定義：f（x）=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（{4}^{x}+a{2}^{x}-1）=-x$，x∈[0，1]，上有零點”，
可得：F（x）=4^x+a•2^x-1-2^x，即F（x）=（2^x）²+a•2^x-1-2^x，上有零點”，
且4^x+a•2^x-1＞0，
令2^x=t，
x∈[0，1]，
則t∈[1，2]
那么F（x）轉化為g（x）=t²+at-t-1，上有零點”圖象是一條連續不斷的曲線，
且t²+at-1＞0，（1≤t≤2）．
根據二次函數根的分布：則有$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≤0}\\{g（2）≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{g（1）≥0}\\{g（2）≤0}\end{array}\right.$．
解得$-\frac{1}{2}≤a≤1$．
要使t²+at-1＞0（1≤t≤2）恒成立．
其對稱軸x=$-\frac{a}{2}$，在1≤t≤2上是遞增的，當t=1時最小值，
可得a＞0．
綜上可得實數a的取值范圍是（0，1]．

點評 本題主要考查了函數與方程的綜合運用，以及函數零點最值等有關知識，屬于中檔題．