Question

13．如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，∠DAB=60°，AB=2AD，PD⊥底面ABCD．
（Ⅰ）證明：PA⊥BD；
（II）若PD=AD，求AD與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明PA⊥BD，只需證明BD⊥平面PAD，即需證明BD⊥AD，BD⊥PD；
（Ⅱ）以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1）．C（-1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），利用向量求解．

解答 解：令AB=2AD=2，
（Ⅰ）證明：因為∠DAB=60°，AB=2AD=2，
由余弦定理得DB=$\sqrt{3}$，從而BD²+AD²=AB²，故BD⊥AD，
又PD⊥底面ABCD，BD?底面ABCD，∴BD⊥PD，
∵AD∩PD=D，∴BD⊥平面PAD，
∵PA?平面PAD，∴PA⊥BD．
（Ⅱ） 如圖，以D為坐標原點，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D-xyz，
則A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），P（0，0，1）．C（-1，$\sqrt{3}$，0），D（0，0，0），
則$\overrightarrow{AD}=（-1，0，0）$，$\overrightarrow{AB}=（-1，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{PB}=（0，\sqrt{3}，-1）$，
設平面PAB的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{PB}=\sqrt{3}y-z=0}\end{array}\right.$，
因此可取$\overrightarrow{n}=（\sqrt{3}，1，\sqrt{3}$），
cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{n}$＞=-$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴AD與平面PAB所成角的正弦值為$\frac{\sqrt{21}}{7}$

點評 本題考查線線垂直，考查線面角，解題的關鍵是掌握線面垂直的判定與性質，正確運用向量求線面角，屬于中檔題．