Question

15．某學生為了測試煤氣灶燒水如何節省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉的弧度數x與燒開一壺水所用時間y的一組數據，且作了一定的數據處理（如表），得到了散點圖（如圖）．

$\bar x$	$\bar y$	$\bar w$	$\sum_{i=1}^{10}{（{x_i}-\bar x）^2}$	$\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\bar w）^2}$	$\sum_{i=1}^{10}（{x_i}-\bar x）（{y_i}-\bar y）$	$\sum_{i=1}^{10}（{w_i}-\bar w）（{y_i}-\bar y）$
1.47	20.6	0.78	2.35	0.81	-19.3	16.2

表中${w_i}=\frac{1}{x_i^2}，\overline{w}=\frac{1}{10}\sum_{i=1}^{10}{w_i}$．
（1）根據散點圖判斷，y=a+bx與$y=c+\fracp9vv5xb5{x^2}$哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型？（不必說明理由）
（2）根據判斷結果和表中數據，建立y關于x的回歸方程；
（3）若旋轉的弧度數x與單位時間內煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？
附：對于一組數據（u₁，v₁），（u₂，v₂），（u₃，v₃），…，（u_n，v_n），其回歸直線v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計分別為$\hat β=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{v_i}-\bar v）（{u_i}-\bar u）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{u_i}-\bar u）}^2}}}}，\hat α=\bar v-\hat β\bar u$．

Answer 1

分析 （1）根據散點圖是否按直線型分布作答；
（2）根據回歸系數公式得出y關于ω的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；
（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件．

解答 解：（1）$y=c+\fracp9vv5xb5{x^2}$更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉的弧度數x的回歸方程類型．…（1分）
（2）由公式可得：$\hat d=\frac{{\sum_{i=1}^{10}{（{w_i}-\bar w）（{y_i}-\bar y）}}}{{\sum_{i=1}^{10}{{{（{w_i}-\bar w）}^2}}}}=\frac{16.2}{0.81}=20$，…（3分）
$\hat c=\bar y-\hat d\overline{w}=20.6-20×0.78=5$，…（5分）
所以所求回歸方程為$y=5+\frac{20}{x^2}$．…（6分）
（3）設t=kx，則煤氣用量$S=yt=kx（5+\frac{20}{x^2}）=5kx+\frac{20k}{x}≥2\sqrt{5kx•\frac{20k}{x}}=20k$，…（9分）
當且僅當$5kx=\frac{20k}{x}$時取“=”，即x=2時，煤氣用量最�。�…（11分）
答：x為2時，燒開一壺水最省煤氣．                            …（12分）

點評 本題考查了可化為線性相關的回歸方程的求解，基本不等式的應用，屬于中檔題．