Question

20．已知圓C過P（2，6），Q（-2，2）兩點，且圓心C在直線3x+y=0上．
（1）求圓C的方程．
（2）若直線l過點P（0，5）且被圓C截得的線段長為4$\sqrt{3}$，求l的方程．

Answer 1

分析 （1）把點P、Q的坐標和圓心坐標代入圓的標準方程，利用待定系數法求得系數的值；
（2）分類討論，斜率存在和斜率不存在兩種情況．
①當直線l的斜率不存在時，滿足題意，易得直線方程；   
②當直線l的斜率存在時，設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，由點到直線的距離公式求得k的值．

解答 解：（1）方法一　設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，依題意有$\left\{\begin{array}{l}{2D+6E+F=0}\\{-2D+2E+F=-8}\\{-\frac{3D}{2}-\frac{E}{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{D=4}\\{E=-12}\\{F=24}\end{array}\right.$，
故所求圓的方程為x²+y²+4x-12y+24=0．
（2）如圖所示，|AB|=4$\sqrt{3}$，設D是線段AB的中點，
則 CD⊥AB，
∴|AD|=2$\sqrt{3}$，|AC|=4．
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
當直線l的斜率不存在時，滿足題意，
此時方程為x=0．      
當直線l的斜率存在時，設所求直線l的斜率為k，則直線l的方程為：y-5=kx，
即kx-y+5=0．由點C到直線AB的距離公式：
$\frac{|-2k-6+5|}{\sqrt{k2+1}}$=2，得k=$\frac{3}{4}$，此時直線l的方程為
3x-4y+20=0．          
∴所求直線l的方程為x=0或3x-4y+20=0．

點評 本題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有兩點間的距離公式，點到直線的距離公式，圓的標準方程，屬于中檔題．