Question

9．設f（x）=xln x-ax²+（2a-1）x，a∈R．
（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調區間；
（2）已知f（x）在x=1處取得極大值，求正實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數g（x）的單調區間即可；
（2）通過討論a的范圍，得到函數f（x）的單調區間，結合函數的極大值，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）由f′（x）=ln x-2ax+2a，
可得g（x）=ln x-2ax+2a，x∈（0，+∞），
所以g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a=$\frac{1-2ax}{x}$，
當a≤0，x∈（0，+∞）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增；
當a＞0，x∈（0，$\frac{1}{2a}$）時，g′（x）＞0，函數g（x）單調遞增，
x∈（$\frac{1}{2a}$，+∞）時，g′（x）＜0，函數g（x）單調遞減．
所以當a≤0時，g（x）的單調增區間為（0，+∞）；
當a＞0時，g（x）的單調增區間為（0，$\frac{1}{2a}$），單調減區間為（$\frac{1}{2a}$，+∞）．…（6分）
（2）由（1）知，f′（1）=0．
①當0＜a＜$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}$＞1，由（1）知f′（x）在（0，$\frac{1}{2a}$）內單調遞增，
可得當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，$\frac{1}{2a}$）時，f′（x）＞0．
所以f（x）在（0，1）內單調遞減，在（1，$\frac{1}{2a}$）內單調遞增，
所以f（x）在x=1處取得極小值，不合題意．
②當a=$\frac{1}{2}$時，$\frac{1}{2a}$=1，f′（x）在（0，1）內單調遞增，在（1，+∞）內單調遞減，
所以當x∈（0，+∞）時，f′（x）≤0，f（x）單調遞減，不合題意．
③當a＞$\frac{1}{2}$時，0＜$\frac{1}{2a}$＜1，當x∈（$\frac{1}{2a}$，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，
當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以f（x）在x=1處取極大值，符合題意．
綜上可知，正實數a的取值范圍為（$\frac{1}{2}$，+∞）．…（12分）

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道綜合題．