Question

1．已知函數f（x）=$\frac{{{e^x}-a}}{x}（{x∈R}）$．
（1）若函數f（x）在x=1時取得極值，求實數a的值；
（2）若函數f（x）在區間[2，4]上是單調遞增函數，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，根據f′（1）=0，求出a的值，檢驗即可；
（2）問題轉化為（x-1）e^x+a≥0在區間[2，4]上恒成立，記g（x）=（x-1）e^x+a，根據函數的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}+a}{{x}^{2}}$，
∵f（x）在x=1時取極值，故f′（1）=0，解得：a=0，
a=0時，f′（x）=$\frac{（x-1{）e}^{x}}{{x}^{2}}$，
f（x）在x=1時取極值，
故a=0；
（2）∵函數f（x）在區間[2，4]上是單調遞增函數，
∴f′（x）≥0在區間[2，4]上恒成立，
即（x-1）e^x+a≥0在區間[2，4]上恒成立，
記g（x）=（x-1）e^x+a，則g（x）_min≥0，
g′（x）=xe^x，∵x∈[2，4]，∴g′（x）＞0，
故g（x）在[2，4]遞增，
故g（x）_min=g（2）=e²+a≥0，
解得：a≥-e²，
故實數a的范圍是：a≥-e²．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，轉化思想，是一道中檔題．