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6.若$|{\overrightarrow a}|=\sqrt{2},|{\overrightarrow b}|=2$,且$({\overrightarrow a-\overrightarrow b})⊥\overrightarrow a$,則$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角是(  )
A.$\frac{π}{6}$B.$\frac{π}{4}$C.$\frac{π}{3}$D.$\frac{5π}{12}$

分析 根據$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})⊥\overrightarrow{a}$可得到$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})•\overrightarrow{a}=0$,進而求出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$,從而可求出$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>$的值,從而得出$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow{b}$的夾角.

解答 解:$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})⊥\overrightarrow{a}$;
∴$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})•\overrightarrow{a}$
=${\overrightarrow{a}}^{2}-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=$2-\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$
=0;
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=2$;
∴$cos<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{2}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$;
又$<\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}>∈[0,π]$;
∴$\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$的夾角為$\frac{π}{4}$.
故選B.

點評 考查向量垂直的充要條件,向量夾角的余弦公式,以及向量夾角的范圍.

練習冊系列答案
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