Question

19．已知命題p：f（x）=lnx+2x²+6mx+1在（0，+∞）上單調遞增，q：m≥-5，則p是q的（　　）

• A． 充分不必要條件
• B． 必要不充分條件
• C． 充要條件
• D． 既不充分也不必要條件

Answer 1

分析 命題p：f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x+6m，由f（x）=lnx+2x²+6mx+1，在（0，+∞）上單調遞增，$\frac{1}{x}$+4x+6m≥0，化為：6m≥-4x-$\frac{1}{x}$=g（x），利用導數研究其單調性極值與最值，可得m的取值范圍，即可判斷出結論．

解答 解：命題p：f′（x）=$\frac{1}{x}$+4x+6m，由f（x）=lnx+2x²+6mx+1，在（0，+∞）上單調遞增，
∴$\frac{1}{x}$+4x+6m≥0，化為：6m≥-4x-$\frac{1}{x}$=g（x），
g′（x）=-4+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{-4（x+\frac{1}{2}）（x-\frac{1}{2}）}{{x}^{2}}$，可得：當x=$\frac{1}{2}$時，函數g（x）取得極大值即最大值，g（$\frac{1}{2}$）=-4，
∴m≥-$\frac{2}{3}$．
∴p是q的充分不必要條件．
故選：A．

點評 本題考查了利用導數研究其單調性極值與最值、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．