Question

18．設數列{a_n}是公差大于0的等差數列，S_n為數列{a_n}的前n項和．已知S₃=9，且2a₁，a₃-1，a₄+1構成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{b_n}滿足b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$（n∈N*），設T_n要是數列{b_n}在前n項和，證明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）由已知得$\left\{\begin{array}{l}{{3a}_{1}+3d=9}\\{{（a}_{1}+2d-1）^{2}=2{a}_{1}（{a}_{1}+3d+1）}\end{array}\right.$，由此能求出a_n=2n-1．
（2）由 b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，得到T_n要是數列{b_n}在前n項和得到證明：$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

解答 解：（1）∵公差不為零的等差數列{a_n}的前3項和S₃=9，得到a₂=3，
且2a₁，a₃-1，a₄+1構成等比數列，
∴得到未知數a₂與d的方程組：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+3d=9}\\{（{a}_{2}+2d+1）（2{a}_{2}-2d）=（{a}_{2}+d-1）^{2}}\end{array}\right.$
由d≠0，解得a₁=1，d=2，
∴a_n=2n-1．
（2）證明：由題意得：b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$…+$\frac{1}{2n-1}$_$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．
∴$\frac{n}{2n+1}$=$\frac{1}{2+\frac{1}{n}}$，∵$0＜\frac{1}{n}≤1$，所以$\frac{1}{3}$≤T_n＜$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用