Question

8．一個多面體的直觀圖如圖1所示，其正（主）視圖，側（左）視圖，俯視圖如圖2所示．
（1）若多面體底面對角線AC，BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證；OE∥平面A₁C₁C；
（2）求平面AA₁D₁與平面ABCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）連結AC，BD，交于O點，則OE∥A₁C，由此能證明OE∥平面A₁C₁C．
（2）分別取A₁D₁，B₁C₁的中點M，N，連結AM，CN，MN，推導出∠MAC為平面AA₁D₁與平面ABCD所成二面角的平面角，由此能求出平面AA₁D₁與平面ABCD所成二面角的余弦值．

解答 證明：（1）如圖，連結AC，BD，交于O點，
∵E為AA₁的中點，O為AC的中點，
∴E為AA₁的中點，O為AC的中點，
∴在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
∴OE∥A₁C，
∵OE?平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C．
解：（2）分別取A₁D₁，B₁C₁的中點M，N，連結AM，CN，MN，
平面AMN⊥平面ABCD，
∵BD⊥AC，∴BD⊥AM，
過A作直線l∥BD，∴AM⊥l，AC⊥l，
∴∠MAC為平面AA₁D₁與平面ABCD所成二面角的平面角，
在Rt△AMH中，由題意AH=$\frac{\sqrt{2}}{4}a，MH=a$，
由勾股定理得AM=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}a$，
∴cos∠MAH=$\frac{\frac{\sqrt{2}a}{4}}{\frac{3\sqrt{2}}{4}a}$=$\frac{1}{3}$，
∴平面AA₁D₁與平面ABCD所成二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面解和余弦值的求法，是中檔題，解題時 要認真審題，注意空間思維能力的培養．