Question

8．已知二次函數f（x）滿足f（0）=0且f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的表達
（2）求函數f（x）在[t，t+1]上的最小值g（t）
（3）若g（t）+m≥0對t∈R恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設出二次函數的一般形式后，代入f（x+1）=f（x）+x+1，化簡后根據多項式相等，各系數相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（2）對稱軸x=-$\frac{1}{2}$，討論區間與對稱軸的位置關系，從而求最小值．
（3））由g（t）+m≥0對t∈R恒成立，可得-m≤g（t）_min，由（2）可知g（t）_min=-$\frac{1}{8}$，問題得以解決．

解答 解：（1）令f（x）=ax²+bx+c，（a≠0）
代入f（x+1）=f（x）+x+1，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c=ax²+bx+c+x+1，
∴（2a+b）x+a+b=（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{2}$，b=$\frac{1}{2}$
又∵f（0）=c=0
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$x，
（2）由（1）可得f（x）的對稱軸為x=-$\frac{1}{2}$，
∴函數f（x）在（-∞，-$\frac{1}{2}$）單調遞減，在（$\frac{1}{2}$，+∞）單調遞增，
①當t+1≤-$\frac{1}{2}$，即t≤-$\frac{3}{2}$時，f（x）在[t，t+1]單調遞減，
g（t）=f（x）_min=f（t+1）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
②-$\frac{1}{2}$＜t+1且t＜-$\frac{1}{2}$，即-$\frac{3}{2}$＜t＜-$\frac{1}{2}$時，f（x）在[t，-$\frac{1}{2}$）遞減，在（-$\frac{1}{2}$，t+1]遞增，
∴g（t）=f（x）_min=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{8}$，
③t≥-$\frac{1}{2}$時，函數f（x）在[t，t+1]單調遞增，
∴g（t）=f（x）_min=f（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{1}{2}$t，
∴g（t）=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{3}{2}t+1，t≤-\frac{3}{2}}\\{-\frac{1}{8}，-\frac{3}{2}＜t＜-\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}{t}^{2}+\frac{1}{2}t．t≥-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
（3）∵g（t）+m≥0對t∈R恒成立，
∴-m≤g（t）_min，
由（2）可知g（t）_min=-$\frac{1}{8}$，
∴-m≤-$\frac{1}{8}$，
∴m≥$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查的知識點是函數解析式的求法，及二次函數在閉區間上的最值，熟練掌握待定系數法求函數解析式的步驟及二次函數的圖象和性質是解答的關鍵．