Question

17．如圖所示，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O為底面ABCD的中心，P是DD₁的中點，設Q是CC₁上的點．
（1）當點Q在什么位置時，平面D₁BQ∥平面PAO？
（2）異面直線B₁C與D₁B所成角．

Answer 1

分析 （1）當Q為CC₁的中點時，QB∥PA，D₁B∥PO，由此能求出平面D₁BQ∥平面PAO．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線B₁C與D₁B所成角．

解答 （本小題滿分10分）
解：（1）當Q為CC₁的中點時，平面D₁BQ∥平面PAO．
理由如下：
 當Q為CC₁的中點時，
∵Q為CC₁的中點，P為DD₁的中點，∴QB∥PA．
∵P、O為DD₁、DB的中點，∴D₁B∥PO．
又PO∩PA=P，D₁B∩QB=B，
D₁B∥平面PAO，QB∥平面PAO，
∴平面D₁BQ∥平面PAO．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標系，
設正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為1，
B₁（1，1，1），C（0，1，0），B（1，1，0），D₁（0，0，1），
$\overrightarrow{{B}_{1}C}$=（-1，0，1），$\overrightarrow{{D}_{1}B}$=（1，1，-1），
設異面直線B₁C與D₁B所成角為θ．
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{{B}_{1}C}•\overrightarrow{{D}_{1}B}|}{|\overrightarrow{{B}_{1}C}|•|\overrightarrow{{D}_{1}B}|}$=$\frac{2}{\sqrt{2}•\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$θ=arccos\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴異面直線B₁C與D₁B所成角為arccos$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查滿足面面平行的點的位置的確定與求法，考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．