Question

9．設定義在R上的函數f（x）、f₁（x）和f₂（x），滿足f（x）=f₁（x）+f₂（x），且對任意實數x₁、x₂（x₁≠x₂），恒有|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|成立．
（1）試寫 出一組滿足條件的具體的f₁（x）和f₂（x），使f₁（x）為增函數，f₂（x）為減函數，但f（x）為增函數．
（2）判斷下列兩個命題的真假，并說明理由．
命題1）：若f₁（x）為增函數，則f（x）為增函數；
命題2）：若f₂（x）為增函數，則f（x）為增函數．
（3）已知f（x）=x³+x²+x+1，寫出一組滿足條件的具體的f₁（x）和f₂（x），且f₂（x）為非常值函數，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據題意，找出滿足條件的一組函數f₁（x）和f₂（x）即可；
（2）根據題意，得出命題1）是真命題，說明理由即可；
命題2）是假命題，舉反例說明即可；
（3）根據題意，由f（x）=x³+x²+x+1寫出一組滿足條件的具體f₁（x）和f₂（x），簡單說明理由即可．

解答 解：（1）根據題意，設函數f₁（x）=3^x為（0，+∞）上的增函數，f₂（x）=-2^x為（0，+∞）減函數，
則f（x）=3^x-2^x是（0，+∞）上的單調增函數；
（2）命題1）：若f₁（x）為增函數，則f（x）為增函數，是真命題；
理由是：設x₁＜x₂由y=f₁（x）是區間D上的增函數可得f₁（x₁）＜f₁（x₂）
①若f₂（x）為單調遞增或常函數，則y=F（x）是區間D上的增函數
②若函數f₂（x₁）＞f₂（x₂），則由|f₁（x₁）-f₁（x₂）|＞|f₂（x₁）-f₂（x₂）|可得，
-f₁（x₁）+f₁（x₂）＞f₂（x₁）-f₂（x₂）
∴f₁（x₁）+f₂（x₁）＜f₁（x₂）+f₂（x₂），
即f（x₁）＜f（x₂）；
綜上，函數f（x）為單調遞增函數；
命題2）：若f₂（x）為增函數，則f（x）為增函數，是假命題；
如函數f₁（x）=-3^x為減函數，f₂（x）=2^x為增函數，
但f（x）=2^x-3^x不是單調遞增函數；
（3）由f（x）=x³+x²+x+1，
令f₁（x）=x³，為定義域R上的增函數，
f₂（x）=x²+x+1，且f₂（x）為非常值函數，
則f′（x）=3x²+2x+1=3${（x+\frac{1}{3}）}^{2}$+$\frac{2}{3}$＞0，
所以f（x）是定義域R上的增函數．

點評 本題考查了函數的定義與應用問題，也考查了函數的單調性與應用問題，是難題．