Question

3．已知函數f（x）=lg[（m²-1）x²-（1-m）x+1]
（1）若函數的定義域為R，求實數m的取值范圍；
（2）若函數的值域為R，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若函數的定義域為R，則（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0對x∈R恒成立，進而可得實數m的取值范圍；
（2）若函數的值域為R，則g（x）=（m²-1）x²-（1-m）x+1的值域包含（0，+∞），進而可得實數m的取值范圍．

解答 解：（1）由題知（m²-1）x²-（1-m）x+1＞0對x∈R恒成立．
（I）當m²-1=0時，若m=1，有1＞0恒成立，符合題意：
若m=-1，有$x＜\frac{1}{2}$，不合題意．
（II）當m²-1≠0即m≠±1時，
有$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-1＞0⇒m＞1或m＜-1\\△={（1-m）^2}-4（{m^2}-1）＜0⇒m＞1或m＜-\frac{5}{3}\end{array}\right.$解得：m＞1或$m＜-\frac{5}{3}$；
∴由（I）（II）可知$m∈（-∞，-\frac{5}{3}）∪[1，+∞）$．
（2）由題意，g（x）=（m²-1）x²-（1-m）x+1的值域包含（0，+∞），
（I）當m²-1=0時，若m=1，有g（x）=1，不合題意；
若m=-1，則g（x）=-2x+1，符合題意．
（II）當m²-1≠0即m≠±1時
有$\left\{\begin{array}{l}{m^2}-1＞0\\△≥0\end{array}\right.$解得：$-\frac{5}{3}≤m＜-1$
∴由（I）（II）可知$m∈[-\frac{5}{3}，-1]$．

點評 本題考查的知識點是函數恒成立問題，二次函數的圖象和性質，對數函數的圖象和性質，難度中檔．