Question

10．已知數列{a_n}中，a₁=1，函數f（x）=-$\frac{2}{3}$x³+$\frac{a_n}{2}$x²-3a_n-1x+4在x=1處取得極值，則a_n=2•3^n-1-1．

Answer 1

分析 由已知可得x=1為導函數f′（x）=-2x²+a_nx-3a_n-1的零點，即a_n=3a_n-1+2，進而可得數列{a_n+1}是一個以2為首項，以3為公比的等比數列，進而得到答案．

解答 解：∵函數f（x）=-$\frac{2}{3}$x³+$\frac{a_n}{2}$x²-3a_n-1x+4在x=1處取得極值，
∴x=1為導函數f′（x）=-2x²+a_nx-3a_n-1的零點，
即a_n=3a_n-1+2，
即a_n+1=3（a_n-1+1），
∵a₁=1，
∴a₁+1=2，
∴數列{a_n+1}是一個以2為首項，以3為公比的等比數列，
故a_n+1=2•3^n-1，
故a_n=2•3^n-1-1，
故答案為：2•3^n-1-1

點評 本題考查的知識點是利用函數研究函數的極值，數列的遞推公式，等比數列，難度中檔．