Question

2．已知S_n是等比數列的前n項和，S₄、S₂、S₃成等差數列，且a₂+a₃+a₄=-18．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）設等比數列{a_n}的公比為q，由題意和等差中項的性質列出方程并化簡，由等比數列的通項公式和條件
列出方程組，求出q和a₁的值，代入通項公式求出a_n；
（2）由（1）化簡na_n，利用錯位相減法、等比數列的前n項和公式求出數列{na_n}的前n項和．

解答 解：（1）設等比數列{a_n}的公比為q，
∵S₄、S₂、S₃成等差數列，∴2S₂=S₄+S₃，
即2a₃+a₄=0，又a₂+a₃+a₄=-18，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=0}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{2}+{a}_{1}{q}^{3}=-18}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{q=-2}\\{{a}_{1}=3}\end{array}\right.$，
∴a_n=a₁•q^n-1=3•（-2）^n-1；
（2）由（1）得，na_n=3n•（-2）^n-1，
設T_n=3[1×（-2）⁰+2×（-2）¹+3×（-2）²+…+n•（-2）^n-1]，①
-2T_n=3[1×（-2）¹+2×（-2）²+3×（-2）³+…+n•（-2）ⁿ]，②
①-②得，3T_n=3[（-2）⁰+（-2）¹+（-2）²+…+（-2）^n-1-n•（-2）ⁿ]
=3[$\frac{1-（-2）^{n}}{1-（-2）}$-n•（-2）ⁿ]=1-（3n+1）•（-2）ⁿ，
∴T_n=$\frac{1-（3n+1）•{（-2）}^{n}}{3}$．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、前n項和公式，等差中項的性質，以及錯位相減法求數列的和，考查了方程思想，化簡、變形能力．