Question

20．已知函數f（x）=2x²-1
（Ⅰ）用定義證明f（x）是偶函數；
（Ⅱ）用定義證明f（x）在（∞，0]上是減函數．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用偶函數的定義，即可得證；
（Ⅱ）運用函數單調性的定義，即可得證．

解答 （Ⅰ）證明：函數f（x）的定義域為R，對于任意的x∈R，都有
f（-x）=2（-x）²-1=2x²-1=f（x），∴f（x）是偶函數；
（Ⅱ）證明：在區間（-∞，0]上任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，則有
f（x₁）-f（x₂）=（2x₁²-1）-（2x₂²-1）=2（x₁²-x₂²）=2（x₁-x₂）（x₁+x₂），
∵x₁，x₂∈（-∞，0]，x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁+x₂＜0，
即（x₁-x₂）（x₁+x₂）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x）在（-∞，0]上是減函數．

點評 本題考查函數的奇偶性和單調性的證明，注意運用定義法，考查推理能力，屬于基礎題．