Question

11．現需要設計一個倉庫，它的上部是底面圓半徑為5米的圓錐，下部是底面圓半徑為5米的圓柱，且該倉庫的總高度為5米．經過預算，制造該倉庫的圓錐側面、圓柱側面用料的單價分別為4百元/米²、1百元/米²．
（1）記倉庫的側面總造價為y百元，
①設圓柱的高為x米，試將y表示為關于x的函數y=f（x）；
②設圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ，試將y表示為關于θ的函數y=g（θ）；
（2）問當圓柱的高度為多少米時，該倉庫的側面總造價（單位：百元）最少？

Answer 1

分析 （1）①由題可知，圓柱的高為x米，且x∈（0，5），利用制造該倉庫的圓錐側面、圓柱側面用料的單價分別為4百元/米²、1百元/米²，可將y表示為關于x的函數y=f（x）；
②設圓錐母線與其軸所在直線所成角為θ，即可將y表示為關于θ的函數y=g（θ）；
（2）由②，令$h（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，${h^'}（θ）=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$，確定函數的單調性，即可得出結論．

解答 解：（1）①由題可知，圓柱的高為x米，且x∈（0，5），…（2分）
則該倉庫的側面總造價$y=（2π×5x）×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\sqrt{（5-x{）^2}+25}}]×4$=$10πx+20π\sqrt{{x^2}-10x+50}$，x∈（0，5）…（4分）
②由題可知，圓錐母線與軸所在直線所成角為θ，且$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$，…（6分）
則該倉庫的側面總造價$y=[{2π×5×5（1-\frac{1}{tanθ}）}]×1+[{\frac{1}{2}×2π×5×\frac{5}{sinθ}}]×4$=$50π（{1+\frac{2-cosθ}{sinθ}}）$，$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$…（8分）
（2）由②，令$h（θ）=\frac{2-cosθ}{sinθ}$，${h^'}（θ）=\frac{1-2cosθ}{{si{n^2}θ}}=0$得$cosθ=\frac{1}{2}$，$θ∈（{\frac{π}{4}，\frac{π}{2}}）$即$θ=\frac{π}{3}$，…（11分）

θ	$（{\frac{π}{4}，\frac{π}{3}}）$	$θ=\frac{π}{3}$	$（{\frac{π}{3}，\frac{π}{2}}）$
h′（θ）	-	0	+
h（θ）	↘	極小值	↗

不列表描述單調性，扣（3分）…（14分）
當$θ=\frac{π}{3}$時，h（θ）取得最小值，側面總造價y最小，
此時圓柱的高度為$5-\frac{5}{tanθ}=5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米．…（15分）
答：當圓柱的高度為$5-\frac{{5\sqrt{3}}}{3}$米時，該倉庫的側面總造價最少．…（16分）

點評 本題主要考查數學建模和解決實際問題的能力，考查運算求解能力．